Question

設

a

=（3，-sin2x），

b

=（cos2x，

3

），f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值及取最大值時x的集合；
（Ⅲ）求滿足f（a）=-

3

且0＜α＜π的角α的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用數量積的坐標表示，及兩角和的余弦公式，再由周期公式，即可得到；
（Ⅱ）由余弦函數的最值，即可得到最大值和x的集合；
（Ⅲ）化簡得到cos（2α+

π

6

）=-

1

2

，再由0＜α＜π得到所求的值．

解答： 解：（Ⅰ）

a

=（3，-sin2x），

b

=（cos2x，

3

），
f（x）=

a

•

b

=3cos2x-

3

sin2x
=2

3

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=2

3

cos（2x+

π

6

），
故最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）當2x+

π

6

=2kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

12

，k∈Z時，f（x）有最大值2

3

，
此時，所求x的集合為{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}．               
（Ⅲ）由f（α）=-

3

得2

3

cos（2α+

π

6

）=-

3

 得cos（2α+

π

6

）=-

1

2

，
則2α+

π

6

=2kπ+

2π

3

或

4π

3

，k∈Z．
又由0＜α＜π得，解得α=

π

4

或

7π

12

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換公式的運用，考查三角函數的最值和周期性，同時考查平面向量的數量積及運用，屬于中檔題．