Question

三次函數(shù)f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]內(nèi)恒為正值，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：由f（x）＞0在[1，2]內(nèi)恒成立，即3b（x-1）＜x³．對(duì)x分類(lèi)討論：①當(dāng)x=1時(shí)，上式對(duì)于b∈R都成立；②當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）＞0在[1，2]內(nèi)恒成立?3b＜

x3

x-1

恒成立?3b＜[

x3

x-1

]min，x∈（1，2]，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可．

解答：解：由f（x）＞0在[1，2]內(nèi)恒成立，即3b（x-1）＜x³．
①當(dāng)x=1時(shí)，上式對(duì)于b∈R都成立；
②當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）＞0在[1，2]內(nèi)恒成立?3b＜

x3

x-1

恒成立，x∈（1，2]?3b＜[

x3

x-1

]min，x∈（1，2]．
令g（x）=

x3

x-1

，x∈（1，2]，則g′(x)=

2x2(x- 3 2 )

(x-1)2

，由g^′（x）=0，解得x=

3

2

．
列表如下：
由表格可知：當(dāng)x=

3

2

時(shí)，g（x）取得極小值，也即最小值，g(

3

2

)=

( 3 2 )3

3 2 -1

=

27

4

．
∴3b＜

27

4

，解得b＜

9

4

．
綜上①②可知：b的取值范圍是(-∞，

9

4

)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、分類(lèi)討論的思想方法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．