Question

已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C：（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：分別交于M，N兩點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為
∴
故橢圓C的方程為。
（2）直線AS的斜率k顯然存在，且，故可設(shè)直線AS的方程為，
從而
由得0
設(shè)則（-2）×得，
從而
即
又
由得
∴
故
又
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立
∴時(shí)，線段MN的長度取最小值。
（3）由（2）可知，當(dāng)MN取最小值時(shí)，
此時(shí)的方程為，S
∴
要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，
所以T在平行于且與距離等于的直線l′上。
設(shè)直線l′：
則由解得或
當(dāng)由得
由于
故直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
當(dāng)由得
由于，故直線l′與橢圓C沒有交點(diǎn)
綜上所述，當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，橢圓上僅存在兩個(gè)不同的點(diǎn)T，使得的面積等于。