Question

【題目】2020年春節(jié)期間，武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民團(tuán)結(jié)一心，眾志成城，共同抗擊疫情.某中學(xué)寒假開學(xué)后，為了普及傳染病知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的防范意識(shí)，提高自身保護(hù)能力，校委會(huì)在全校學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個(gè)人衛(wèi)生相關(guān)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽(滿分100分)，競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng).教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；

（2）若該校所有參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：

(i)若該校共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù))；

(ii)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）(i)(ii)詳見解析

【解析】

（1）由樣本頻率分布直方圖得，有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事件，利用組合數(shù)公式求出總的基本事件數(shù)和事件包含的基本事件數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式即可求解；

（2）利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求出平均數(shù)的估計(jì)值，利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求出的概率，即可估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的概率和期望公式求出隨機(jī)變量的分布列和均值即可.

（1）由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎(jiǎng)的6人，獲二等獎(jiǎng)的8人，

獲三等獎(jiǎng)的16人，所以有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，

從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，基本事件總數(shù)為，

設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事件，

則事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，

由古典概型概率計(jì)算公式可得，，

所以抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率.

（2）由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數(shù)的估計(jì)值，所有參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布.

（i）因?yàn)?/span>，所以，

參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)約為.

（ⅱ）由，得，即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>64分以上的概率為，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.

隨機(jī)變量的所有可能取得的值為0，1，2，3.

，

，

，

，

隨機(jī)變量的分布列為

	0	1	2	3

所以.