Question

已知三次函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f'（x）成立，求f（0）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式，然后求導(dǎo)數(shù)，將x=1，2，3代入可求出函數(shù)f（x）的解析式進(jìn)而可得答案．
（2）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后表示表示出f（x）＞f′（x）的不等關(guān)系，表示出f（0），轉(zhuǎn)化為求f（0）＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]的恒成立問題．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f′（x）=3ax²+2bx+c．
∴

3a+2b+c=0 12a+4b+c=3 27a+6b+c=12

即

a=1 b=-3 c=3

．
∴f（x）-f（0）=x³-3x²+3x．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6x+3，∵對(duì)任意的x∈[-1，4]，f（x）＞f′（x）成立
∴f（x）-f′（x）=x³-6x²+9x+f（0）-3＞0．
∴f（0）＞-x³+6x²-9x+3
設(shè)F（x）=-x³+6x²-9x+3，則F′（x）=-3x²+12x-9．
令F′（x）=0得x=1或x=3，∴x=1和x=3是函數(shù)的極值點(diǎn)．
又F（-1）＞F（3），F(xiàn)（-1＞F（1），F(xiàn)（-1）＞F（4）
∴F（x）在[-1，4]上的最大值為F（-1）=19．f（0）的取值范圍是（19，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，屬中檔題．