Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點(1 ， 

3

2

)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點，過P作方向向量

d

=(2 ， 1)的直線l交橢圓C于A、B兩點，求證：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

分析：（1）由于C的焦點在x軸上且長軸為4，可設(shè)橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把點(1 ， 

3

2

)代入橢圓的方程可得

1

4

+

3

4b2

=1，解出即可．
（2）設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），由于直線l方向向量

d

=(2 ， 1)，可得直線l的方程是y=

x-m

2

．與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用兩點間的距離公式即可證明．

解答：（1）解：∵C的焦點在x軸上且長軸為4，
故可設(shè)橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵點(1 ， 

3

2

)在橢圓C上，∴

1

4

+

3

4b2

=1，
解得b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）證明：設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），
∵直線l方向向量

d

=(2 ， 1)，
∴直線l的方程是y=

x-m

2

，
聯(lián)立

y= 1 2 (x-m)   x2 4 +y2=1

⇒2x²-2mx+m²-4=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個根，
∴x₂+x₂=m，x1x2=

m2-4

2

，
∴|PA|2+|PB|2=(x1-m)2+

y

2 1

+(x2-m)2+

y

2 2

=(x1-m)2+

1

4

(x1-m)2+(x2-m)2+

1

4

(x2-m)2=

5

4

[(x1-m)2+(x2-m)2]=

5

4

[

x

2 1

+

x

2 2

-2m(x1+x2)+2m2]=

5

4

[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]
=

5

4

[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5（定值）．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點間的距離公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．