Question

如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F，且AB=2BP=4，
（1）求PF的長度．
（2）若圓F與圓O內(nèi)切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，OD，OE，由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，結(jié)合題中條件弧長AE等于弧長AC可得∠CDE=∠AOC，從而得到△PFD∽△PCO，最后再結(jié)合割線定理即可求得PF的長度；
（2）根據(jù)圓F與圓O內(nèi)切，求得圓F的半徑為r，由PT為圓F的切線結(jié)合割線定理即可求得線段PT的長度．
解答：解：（1）連接OC，OD，OE，由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系
結(jié)合題中條件弧長AE等于弧長AC可得∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
從而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴
由割線定理知PC•PD=PA•PB=12，故．

（2）若圓F與圓O內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，因為OF=2-r=1即r=1
所以O(shè)B是圓F的直徑，且過P點圓F的切線為PT
則PT²=PB•PO=2×4=8，即
點評：本小題主要考查圓的切線的判定定理的證明、同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系、割線定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．