Question

為了研究某種藥物，用小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)藥物在血液內(nèi)的濃度與時(shí)間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的3小時(shí)內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y₁與時(shí)間t滿足關(guān)系式：y1=4-at(0＜a＜

4

3

，a為常數(shù))，若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y₂與時(shí)間t滿足關(guān)系式：y2=

t (0＜t＜1) 3- 2 t (1≤t≤3)

．現(xiàn)對(duì)小白鼠同時(shí)進(jìn)行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．
（1）若a=1，求3小時(shí)內(nèi)，該小白鼠何時(shí)血液中藥物的濃度最高，并求出最大值
（2）若使小白鼠在用藥后3小時(shí)內(nèi)血液中的藥物濃度不低于4，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）建立血液中藥物的濃度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，要根據(jù)得出的函數(shù)關(guān)系式采取合適的辦法解決該濃度的最值問題；二次函數(shù)要注意對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系、對(duì)勾函數(shù)要注意基本不等式的運(yùn)用；
（2）分段求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的范圍問題，注意函數(shù)值域思想的應(yīng)用．

解答：解：（1）藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y與時(shí)間t的關(guān)系為：當(dāng)a=1時(shí)，
y=y₁+y₂=

-t+ t +4，0＜t＜1 7-(t+ 2 t )，1≤t≤3

；
①當(dāng)0＜t＜1時(shí)，y=-t+

t

+4=-（

t

-

1

2

）²+

17

4

，所以y_max=f（

1

4

）=

17

4

；
②當(dāng)1≤t≤3時(shí)，∵t+

2

t

≥2

2

，所以y_max^=7-2

2

^{_{（當(dāng)t=}}

2

^{_{時(shí)取到），因?yàn)?/SUB>}}

17

4

＞7-2

2

^{_{，故ymax=f（}}

1

4

^_）=

17

4

_{^{．
（2）由題意y=}}

-at+ t +4(0＜t＜1) 7-(at+ 2 t )(1≤t≤3)

_^①-at+

t

+4≥4_^?-at+

t

≥0_^?a≤

1

t

_{，又0＜t＜1，得出a≤1；
②}7-(at+

2

t

)≥4?at+

2

t

≤3?at≤3-

2

t

由于1≤t≤3得到a≤-

2

t2

+

3

t

，令u=

1

t

，則a≤-2u2+3u，u∈[

1

3

，1]，
所以a≤

7

9

，綜上得到以0＜a≤

7

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生的函數(shù)思想，考查學(xué)生分段函數(shù)的基本思路，用好分類討論思想，注意二次函數(shù)最值問題，基本不等式在求解該題中作用．恒成立問題的處理方法．用好分離變量法．