Question

如圖，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一點(diǎn)，現(xiàn)有一位開(kāi)發(fā)商想在平地上建造一個(gè)兩邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車(chē)場(chǎng)PQCR．
（1）若∠PAT=θ，試寫(xiě)出四邊形RPQC的面積S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出定義域；
（2）試求停車(chē)場(chǎng)的面積最大值．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)RP交AB于M，設(shè)∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），則AM=90cosθ，MP=90sinθ，PQ=100-cosθ，PR=100-90sinθ．由S_PQCR=PQ•PR能求出四邊形RPQC的面積S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式，并能寫(xiě)出定義域．
（2）設(shè)t=cosθ+sinθ．由0°≤θ≤90°，知t∈[1，

2

]，cosθsinθ=

t2-2

2

，由此能求出停車(chē)場(chǎng)面積的最大值．

解答：解：（1）延長(zhǎng)RP交AB于M，設(shè)∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），
則AM=90cosθ，MP=90sinθ，
PQ=100-cosθ，PR=100-90sinθ．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosθ）（100-90sinθ）
=10000-9000（cosθ+sinθ）+8100cosθsinθ，{θ|0≤θ≤

π

2

}．
（2）設(shè)t=cosθ+sinθ，
∵0°≤θ≤90°，
∴t∈[1，

2

]，cosθsinθ=

t2-2

2

SPQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050(t-

10

9

)2+950．
∴當(dāng)t=

2

時(shí)，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：長(zhǎng)方形停車(chē)場(chǎng)PQCR面積的最大值為14050-9000

2

平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的具體運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分析數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地建立方程．易錯(cuò)點(diǎn)是忽視數(shù)學(xué)表達(dá)式在生產(chǎn)實(shí)際中的定義域的范圍．