Question

6．“我是歌手”是芒果衛(wèi)視推出的節(jié)目，其中歌手由大眾評審打分，已知大眾評審有五個(gè)年齡層，每組100人，共500人．年齡層分布知如下：
10組：12-19歲
20組：20-29歲
30組：30-39歲
40組：40-49歲
50組：50歲以上
在某歌手演唱完一首民族歌曲后，得票情況如圖所示：
已知該歌手共獲得了215張選票．
（1）完成2×2列聯(lián)表：

投票 年齡	是	否	合計(jì)
10組
50組
合計(jì)

（2）判斷是否有99%的把握認(rèn)為投票與否和年齡有關(guān)，說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）

P（x2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（參考公式x²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$，n=n₁₊+n₂₊+n₊₁+n₊₂）
（3）以上圖中投票情況，從20組和40組中隨機(jī)各抽取1人，求其中投票的人數(shù)ξ的分布列及其期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，計(jì)算出對應(yīng)數(shù)據(jù)，填寫2×2列聯(lián)表；
（2）計(jì)算x²的值，對照數(shù)表即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)圖中投票情況，求出投票人數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，填寫2×2列聯(lián)表，如下：

投票 年齡	是	否	合計(jì)
10組	12	88	100
50組	33	67	100
合計(jì)	45	155	200

（2）計(jì)算x²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$=$\frac{200{×（12×67-33×88）}^{2}}{100×100×45×155}$≈4.772＜6.635，
所以，沒有99%的把握認(rèn)為投票與否和年齡有關(guān)；
（3）根據(jù)圖中投票情況，從20組和40組中隨機(jī)各抽取1人，投票人數(shù)ξ的可能取值為0、1、2；
則P（ξ=0）=0.85×0.75=0.6375，
P（ξ=1）=0.85×0.25+0.15×0.75=0.325，
P（ξ=2）=0.15×0.25=0.0375；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P（ξ）	0.6375	0.325	0.0375

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×0.6375+1×0.325+2×0.0375=0.4．

點(diǎn)評 本題考查了2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望值的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．