(2012•上海二模)設(shè)雙曲線
x2
4
-y2=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P1、P2、…、Pn是其右上方一段(2≤x≤2
5
,y≥0)上的點(diǎn),線段|PkF|的長(zhǎng)度為ak,(k=1,2,3,…,n).若數(shù)列{an}成等差數(shù)列且公差d∈(
1
5
,
5
5
),則n最大取值為
14
14
分析:根據(jù)雙曲線的第二定義,可得|PkF|的長(zhǎng)度ak=
5
2
xk-2,結(jié)合題意2≤xk≤2
5
得n取最大值時(shí)d=
5-
5
n-1
,再解不等式
1
5
5-
5
n-1
5
5
,找出它的最大整數(shù)解,即得n的最大值.
解答:解:由題意,得a2=4,b2=1,c=
a2+b2
=
5
,可得 雙曲線 的右準(zhǔn)線為:x=
a2
c
,即x=
4
5
5

設(shè)Pk坐標(biāo)為(xk,yk),Pk到右準(zhǔn)線的距離為dk(k=1,2,3,…,n),
根據(jù)雙曲線的第二定義,得
|PkF|
dk
=e=
5
2
,
∴|PkF|=
5
2
dk=
5
2
(xk-
4
5
5
)=
5
2
xk-2
∵|PkF|的長(zhǎng)度為ak,∴ak=
5
2
xk-2
∵數(shù)列{an}成等差數(shù)列,且公差d∈(
1
5
,
5
5
),
an-a1
n-1
=
5
2
(xn-x1)
n-1
∈(
1
5
,
5
5
),
∵2≤xk≤2
5
,(k=1,2,3,…,n),公差d是正數(shù)
∴0<xn-x1≤2
5
-2,得n取最大值時(shí)d=
5
2
(2
5
-2)
n-1
=
5-
5
n-1

1
5
5-
5
n-1
5
5
,解之得5
5
-4<n<26-5
5

因?yàn)?6-5
5
≈14.82,所以滿足條件的最大整數(shù)n=14
故答案為:14
點(diǎn)評(píng):本題以雙曲線為載體,在它的n條焦半徑成等差數(shù)列并知道公差范圍的情況下,求項(xiàng)數(shù)n的最大值,著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí),屬于中檔題.
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8
2
3
π
8
2
3
π

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