Question

已知f（x）=x³-6ax²+9a²x（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后對a進(jìn)行分析討論求f'（x）＜0的x的范圍．
（2）先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析式確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)a的不同范圍進(jìn)行討論進(jìn)而確定其答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-12ax+9a²=3（x-a）（x-3a）＜0
（1）當(dāng)a=3a，即a=0時，f'（x）=3x²＞0，不成立．
（2）當(dāng)a＞3a，即a＜0時，單調(diào)減區(qū)間為（3a，a）．
（3）當(dāng)a＜3a，即a＞0時，單調(diào)減區(qū)間為（a，3a）．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-12ax+9a²=3（x-a）（x-3a），
f（x）在（0，a）上遞增，在（a，3a）上遞減，在（3a，+∞）上遞增．
（1）當(dāng)a≥3時，函數(shù)f（x）在[0，3]上遞增，
所以函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值是f（3），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(3)≤4 a≥3

解得a∈φ．
（2）當(dāng)1≤a＜3時，有a＜3≤3a，此時函數(shù)f（x）在[0，a]上遞增，在[a，3]上遞減，
所以函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值是f（a），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(a)≤4 1≤a＜3

解得a=1．
（3）當(dāng)a＜1時，有3＞3a，此時函數(shù)f（x）在[a，3a]上遞減，在[3a，3]上遞增，
所以函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值是f（a）或者是f（3）．
由f（a）-f（3）=（a-3）²（4a-3），
①0＜a≤

3

4

時，f（a）≤f（3），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(3)≤4 0＜a≤ 3 4

解得a∈[1-

2 3

9

，

3

4

]．
②

3

4

＜a＜1時，f（a）＞f（3），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(a)≤4 3 4 ＜a＜1

解得a∈(

3

4

，1)．
綜上所述，a∈[1-

2 3

9

，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．