Question

已知數(shù)集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n個集合有n個元素，每一個集合都由連續(xù)正奇數(shù)組成，并且每一個集合中的最大數(shù)與后一個集合中的最小數(shù)是連續(xù)奇數(shù)．
（1）求第n個集合中各數(shù)之和S_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)n是不小于2的正整數(shù)，f(n)=

n

i=1

1

3 Si

，求證：n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)．

Answer 1

分析：（1）第一個集合中有一個數(shù)，第二個集合中有2個數(shù)，第三個集合中有3個數(shù)，…第n個集合中有n個數(shù)，利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算a_n前共有多少個奇數(shù)，從而得到第n個集合中各數(shù)之和S_n的表達(dá)式．
（2）由（1）得f(n)=

n

i=1

1

3 Si

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式的配湊法，證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立即可．

解答：解：（1）設(shè)第n個集合中的最小數(shù)為a_n，則a_n前共有1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

2

個奇數(shù)，
∴an=2×[

n(n-1)

2

+1]-1=n2-n+1．　　　　…（3分）
從而Sn=n(n2-n+1)+

n(n-1)

2

×2=n3．  …（5分）
（2）由（1）得，

3	Si

=i(i=1，2，3，…，n)，
∴f(n)=

n

i=1

1

3 Si

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)． …（7分）
當(dāng)n=2時，左邊=2+f（1）=3，右邊=2f(2)=2(1+

1

2

)=3，等式成立；
假設(shè)n=k（k≥2）時，等式成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）成立，
那么，當(dāng)n=k+1時，
左邊=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+1+f（k）=（k+1）f（k）+1=(k+1)

k

i=1

1

i

+1．
右邊=(k+1)f(k+1)=(k+1)

k+1

i=1

1

i

=(k+1)[

k

i=1

1

i

+

1

k+1

]=(k+1)

k

i=1

1

i

+1，
即左邊=右邊，
∴等式也成立．…（9分）
綜上可知，對一切不小于2的正整數(shù)n，等式n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)都成立．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和的方法，注意集合中元素的特征及元素個數(shù)的規(guī)律；本題還考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．