Question

（2013•鄭州一模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE．
（Ⅰ）在棱A′B上找一點F，使EF∥平面A′CD•
（Ⅱ）求四棱錐A′-BCDF體積的最大值．

Answer 1

分析：（I）取A'C的中點G，連結(jié)DG，EF，GF，則由中位線定理及平行四邊形判定定理可得四邊形DEFG是平行四邊形，進而可得EF∥DG，由線面平行的判定定理可得F為棱A'B的中點時，EF∥平面A'CD．
（II）在平面A'CD內(nèi)作A'H⊥CD于點H，可得A'H就是四棱錐A'-BCDE的高，進而可得點H和D重合時，四棱錐A'-BCDE的體積取最大值．

解答：解：（I）F為棱A'B的中點．理由如下：
取A'C的中點G，連結(jié)DG，EF，GF，
則由中位線定理得DE∥BC，DE=

1

2

BC，且GF∥BC，GF=

1

2

BC．
所以DE∥GF，DE=GF，從而四邊形DEFG是平行四邊形，
EF∥DG．
又EF?平面A'CD，DG?平面A'CD，
故F為棱A'B的中點時，
EF∥平面A'CD．----（6分）
（II）在平面A'CD內(nèi)作A'H⊥CD于點H，

DE⊥A′D DE⊥CD A′D∩CD=D

⇒DE⊥平面A′CD⇒A′H⊥DE，
又DE∩CD=D，
∴A'H⊥底面BCDE，即A'H就是四棱錐A'-BCDE的高．
由A'H≤AD知，點H和D重合時，四棱錐A'-BCDE的體積取最大值．----（10分）
此時V四棱錐A′-BCDE=

1

3

S梯形BCDE•AD=

1

3

×

1

2

(a+2a)a•a=

1

2

a3，
故四棱錐A'-BCDE體積的最大值為

1

2

a3．-----（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中解答（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行的判定定理，（II）的關(guān)鍵是分析出點H和D重合時，四棱錐A'-BCDE的體積取最大值．