Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ex²+mx+1（m∈R），，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)任意x₁，x₂∈R⁺，若g（x₁）＜f′（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2ex+m，令Δ=4（e²-m），
（i）當(dāng)m≥e²時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在R上遞增；
（ii）當(dāng)m＜e²時(shí)，Δ＞0，令f′（x）＞0，
∴f（x）在遞增，
令f′（x）＜0，
∴f（x）在遞減；
（Ⅱ）∵g′（x）=，
令g′（x）==0時(shí)，x=e，
∴g（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴，
又∵f′（x）=（x-e）²+m-e²，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）_min=m-e²，
∴，
∴，即。