已知f0(x)=xnfk(x)=
f′k-1(x)
fk-1(1)
,其中k≤n(n,k∈N+),設(shè)F(x)=Cn0f0(x2)+Cn1f1(x2)+-+Cnnfn(x2),x∈[-1,1].
(1)寫(xiě)出fk(1);
(2)證明:對(duì)任意的x1,x2∈[-1,1],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-n-1.
(1)由已知推得fk(x)=(n-k+1)xn-k,從而有fk(1)=n-k+1
(2)證法1:當(dāng)-1≤x≤1 時(shí),F(xiàn)(x)=x2n+ncn1x2(n-1)+(n-1)cn2x2(n-2)+…+(n-k+1)cnkx2(n-k)+…+2cnn-1x2+1
當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)′(x)>0
所以F(x)在[0,1]上為增函數(shù)
因函數(shù)F(x)為偶函數(shù),所以F(x)在[-1,0]上為減函數(shù)
所以對(duì)任意的x1,x2∈[-1,1],|F(x1)-F(x2)|≤F(1)-F(0)
F(1)-F(0)=Cn0+ncn1+(n-1)cn2+…+(n-k+1)cnk+…+2cnn-1=ncnn-1+(n-1)cnn-2+…+(n-k+1)cnn-k+…+2cn1+cn0
∵(n-k+1)cnn-k=(n-k)cnn-k+cnk=ncn-1k+cnk(k=1,2,3,…,n-1)
F(!)-F(0)=n(cn-11+cn-12+..+cn-1k-1)+(cn1+cn2+…+cnn-1)+cn0
=n(2n-1-1)+2n-1=2n-1(n+2)-n-1
因此結(jié)論成立.
證法2:當(dāng)-1≤x≤1 時(shí),F(xiàn)(x)=x2n+ncn1x2(n-1)+(n-1)cn2x2(n-2)+…+(n-k+1)cnkx2(n-k)+…+2cnn-1x2+1
當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)′(x)>0
所以 F(x)在[0,1]上為增函數(shù)
因函數(shù) F(x)為偶函數(shù)
所以 F(x)在[-1,0]上為減函數(shù)
所以對(duì)任意的x1,x2∈[-1,1],|F(x1)-F(x2)|≤F(!)-F(0)
F(!)-F(0)=cn0+ncn1+(n-1)cn2+…+(n-k+1)cnk+…+2cnn-1
又因F(1)-F(0)=2cn1+3cn2+…+kcnk-1+…+ncnn-1+cn0
所以2[F(1)-F(0)]=(n+2)[cn1+cn2+…+cnk-1+…+cnn-1]+2cn0
F(1)-F(0)=
n+2
2
[cn1+cn2+…+cnk-1+…+cnn-1]+cn0=
n+2
2
(2n-2) +1=2n-1(n+2)-n-1

因此結(jié)論成立.
證法3:當(dāng)-1≤x≤1時(shí),F(xiàn)(x)=x2n+ncn1x2(n-1)+(n-1)cn2x2(n-2)+…+(n-k+1)cnkx2(n-k)+…+2cnn-1x2+1
當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)′(x)>0
所以F(x)在[0,1]上為增函數(shù)
因函數(shù)F(x)為偶函數(shù)
所以F(x)在[-1,0]上為減函數(shù)
所以對(duì)任意的x1,x2∈[-1,1],|F(x1)-F(x2)|≤F(!)-F(0)
F(!)-F(0)=cn0+ncn1+(n-1)cn2+…+(n-k+1)cnk+…+2cnn-1
由x[(1+x)n-xn]=x[cn1xn-1+cn2xn-2+…+cnkxn-k+…+cnn-1+1]=cn1xn+cn2xn-1+…+cnkxn-k+1+…+cnn-1x2+x
對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得(1+x)n-xn+nx(1+x)n-1-nxn=ncn1xn-1+(n-1)cn2xn-2+…+(n-k+1)cnkxn-k+…+2cnn-1x+1
F(x)=(1+x2n+nx2(1+x2n-1-nx2n
∴F(1)-F(0)=2n+n2n-1-n-1=(n+2)2n-1-n-1.
因此結(jié)論成立.
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(2012•泉州模擬)已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).
(Ⅰ)請(qǐng)寫(xiě)出fn(x)的表達(dá)式(不需證明);
(Ⅱ)設(shè)fn(x)的極小值點(diǎn)為Pn(xn,yn),求yn;
(Ⅲ)設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,試求a-b的最小值.

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(1)試用n,k表示:F(1),F(xiàn)(0)
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(1)寫(xiě)出f1(1);
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已知f0(x)=xn,fk(x)=(1),其中k≤n(n,k∈N*),設(shè)F(x)=f0(x2)+f1(x2)+…+fk(x2)+…+fn(x2),x∈[-1,1].

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