已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左、右焦點分別為F1、F2，過橢圓的右焦點作一條直線l交橢圓于點P、Q，則△F1PQ內(nèi)切圓面積的最大值是（　�。�
分析：因為三角形內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F1PQ的周長是定值8，所以只需求出△F1PQ面積的最大值．故可求△F1PQ內(nèi)切圓面積的最大值．
解答：解：因為三角形內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F1PQ的周長是定值8，所以只需求出△F1PQ面積的最大值．
設(shè)直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立得（3m2+4）y2+6my-9=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=-
6m
3m2+4
，y1y2=-
9
3m2+4
，
于是S△F1PQ=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=12
m2+1
(3m2+4)2
．
因為
m2+1
(3m2+4)2
=
1
9m2+15+
1
m2+1
=
1
9m2+9+
1
m2+1
+6
≤
1
16
，
∴S△F1PQ≤ 3
所以內(nèi)切圓半徑r=
2S△F1PQ
8
≤
3
4
，
因此其面積最大值是
9
16
π．
故選D．
點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查面積的最值，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求△F1PQ面積的最大值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x24
+y2=1的左、右兩個頂點分別為A，B，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點，經(jīng)過三點A，M，N的圓與經(jīng)過三點B，M，N的圓分別記為圓C1與圓C2．
（1）求證：無論t如何變化，圓C1與圓C2的圓心距是定值；
（2）當t變化時，求圓C1與圓C2的面積的和S的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+y2=1，過E（1，0）作兩條直線AB與CD分別交橢圓于A，B，C，D四點，已知kAB•kCD=-
1
4
．
（1）若AB的中點為M，CD的中點為N，求證：①kOM•kON=-
1
4
為定值，并求出該定值；②直線MN過定點，并求出該定點；
（2）求四邊形ACBD的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
4
+y2=1，弦AB所在直線方程為：x+2y-2=0，現(xiàn)隨機向橢圓內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落在圖中陰影范圍內(nèi)的概率為
π-2
4π
π-2
4π
．
（橢圓的面積公式S=π•a•b，其中a是橢圓長半軸長，b是橢圓短半軸長）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)三模）已知橢圓
x2
4
+y2=1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點，且∠F1PF2=90°，則點P的縱坐標可以是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x24
+y2=1，過點M（-1，0）作直線l交橢圓于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）求AB中點P的軌跡方程；
（2）求△OAB面積的最大值，并求此時直線l的方程．

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