Question

已知函數(shù).（為自然對(duì)數(shù)的底）
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)使得對(duì)于任意的正數(shù)恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由，得.
令，得，所以.                                 2分
當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是減函數(shù)；          
當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是增函數(shù).               2分
故函數(shù)在處取得最小值.                          2分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，有，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
即兩曲線(xiàn)，有唯一公共點(diǎn).                       3分
若存在,，則直線(xiàn)是曲線(xiàn)和的公切線(xiàn)，切點(diǎn)為.      3分
由，得直線(xiàn)的斜率為.
又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，得.
故存在，，使得對(duì)于任意正數(shù)恒成立.   3分

本試題主要考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的最值，和解決不等式恒成立問(wèn)題。首先求導(dǎo)，然后判定單調(diào)性，并求解得到極值，最終得到最值。另外，對(duì)于不等式的恒成立問(wèn)題，我們常常借助于第一問(wèn)題的結(jié)論來(lái)幫助我們找到突破口。