Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a=1時，求證：直線4x+y+m=0不可能是函數(shù)f（x）圖象的切線．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導，導函數(shù)大于0時可求原函數(shù)的增區(qū)間，導函數(shù)小于0時可求原函數(shù)的減區(qū)間．
（2）將a=1代入函數(shù)確定解析式，然后對函數(shù)f（x）進行求導，可發(fā)現(xiàn)導函數(shù)不可能等于-4從而得證．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當a≤0時，f′（x）=3x²-3a≥0對x∈R恒成立，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
由f′（x）＜0，得-

a

＜x＜

a

．
此時，f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；
遞減區(qū)間是（-

a

，

a

）．
（2）證明：∵a=1，∴f′（x）=3x²-3．
直線4x+y+m=0的斜率為-4，假設f′（x）=-4，即3x²+1=0．
此方程無實根，∴直線4x+y+m=0不可能是函數(shù)f（x）圖象的切線．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．