在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：

（Ⅰ）點M的軌跡方程；      （Ⅱ）的最小值。

（Ⅰ） + =1 (x>1,y>2)；（Ⅱ）||的最小值為3.


解析:

（Ⅰ）橢圓方程可寫為: + =1   式中a>b>0 , 且  得a2=4,b2=1,所以曲線C 的方程為:  x2+ =1 (x>0,y>0).

 y=2(0<x<1) y '=－

設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2,

 y '|x=x0= － ,得切線AB的方程為: y=－ (x－x0)+y0 .

 設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .

由= +得M的坐標為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,

得點M的軌跡方程為: + =1 (x>1,y>2)

 (Ⅱ)| |2= x2+y2,  y2= =4+ ,

∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且當x2－1= ,即x=>1時,上式取等號.

故||的最小值為3.

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相關(guān)習題

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在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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