（12分）已知在數(shù)列中，，是其前項和，且

（I）求；(II)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

 (III)令，記數(shù)列的前項和為.求證：當時， 。

 

【答案】

（I）；(II)見解析； (III)見解析.

【解析】（1）令，代入可求出；

（2）代入整理得，所以數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）由（1），（2）可求得，。所以。當時，；兩邊平方整理得。疊加得

，放縮求得，即證得結論。

（I）；

(II)由條件可得，

兩邊同除以，得：

所以：數(shù)列成等差數(shù)列，且首項和公差均為1

 (III)由（Ⅰ）可得：，，代入可得，所以，.

當時，

平方則

疊加得

   又

=

 

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn是其前n項和，且Sn=n2an-n(n-1)．
（1）求{an}的通項公式；
（2）令bn=(
1
2
)n+1-an，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn是其前n項和，且Sn=n2an-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列{
n+1
n
Sn}是等差數(shù)列；
（2）令bn=（n+1）（1-an），記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．
①求證：當n≥2時，Tn2＞2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)；
②）求證：當n≥2時，bn+1+bn+2+…+b2n＜
4
5
-
1
2n+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江西省贛州市高三第四次月考理科數(shù)學 題型：解答題

14分）已知在數(shù)列中，，是其前項和，且.

(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）令，記數(shù)列的前項和為.

①；求證：當時，

②： 求證：當時，

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年江西省新余市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知在數(shù)列{an}中，，Sn是其前n項和，且Sn=n2an-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）令bn=（n+1）（1-an），記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．
①求證：當n≥2時，；
②）求證：當n≥2時，．

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