Question

已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓的方程；
（2）若直線ax-y+5=0（a≠0）與圓相交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意圓心在x軸，且圓心橫坐標(biāo)是整數(shù)，設(shè)出圓心M的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，根據(jù)直線與圓相切，得到d與半徑r相等，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解即可得到m的值，確定出圓心坐標(biāo)，由圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）假設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，由a不為0，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由直線ax-y+5=0的斜率表示出直線l方程的斜率，再由P的坐標(biāo)和表示出的斜率表示出直線l的方程，根據(jù)直線l垂直平分弦AB，得到圓心M必然在直線l上，所以把M的坐標(biāo)代入直線l方程中，得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入確定出直線l的方程，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)直線ax-y+5=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在．

解答：解：（1）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，
所以

|4m-29|

5

=5，即|4m-29|=25．
即4m-29=25或4m-29=-25，
解得m=

27

2

或m=1，
因?yàn)閙為整數(shù)，故m=1，
故所求的圓的方程是（x-1）²+y²=25；
（2）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，
∵a≠0，則直線l的斜率為-

1

a

，l的方程為y=-

1

a

(x+2)+4，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2-4a=0，解得a=

3

4

．
經(jīng)檢驗(yàn)a=

3

4

時(shí)，直線ax-y+5=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
故存在實(shí)數(shù)a=

3

4

，使得過(guò)點(diǎn)P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓相交的性質(zhì)．要求學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑．根據(jù)直線l垂直平分弦AB得到圓心M必然在直線l上是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．