整數(shù)數(shù)列{an}滿足a2=4，2+
1
an+1
＜
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
＜2+
1
an
，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=
 
．
分析：由題設(shè)知
lim
n→∞
（2+
1
an+1
）=2，
lim
n→∞
（2+
1
an
）=2，根據(jù)夾逼定理有
lim
n→∞
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
=2，由此可知an=n2．
解答：解：∵a2=4，2+
1
an+1
＜
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
＜2+
1
an
，
∴an是遞增函數(shù)，
∵an是正數(shù)列，∴
lim
n→∞
（2+
1
an+1
）=2，
lim
n→∞
（2+
1
an
）=2，
∴根據(jù)夾逼定理有
lim
n→∞
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
=2，
也就是說an必須是n的2次項(xiàng)才能存在極限，且為2，觀察數(shù)列a2=4，
∴an=n2．
故答案為：n2．
點(diǎn)評：本題考查看數(shù)列的遞推式，解題時(shí)要注意極限的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=6，當(dāng)n≥2時(shí)，有|
a
2
n
-an-1an+1| ＜  
1
2
an-1．
（1）求a3的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（3）記Tn=
12
a1
+
22
a2
+
32
a3
 +K+
n2
an
，證明：對任意n∈N*，Tn＜
9
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，且2an-1＜an-1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表：
精英家教網(wǎng)
…
依次計(jì)算各個(gè)三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，求b5+b100的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b為大于等于3的正整數(shù)），問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，流程圖給出了無窮整數(shù)數(shù)列{an}滿足的條件，a1∈N+，且當(dāng)k=5時(shí)，輸出的S=-
5
9
；當(dāng)k=10時(shí)，輸出的S=-
10
99
．
（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）是否存在最小的正數(shù)M使得Tn≤M對一切正整數(shù)n都成立，若存在，求出M的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
an-n，an＞n
an+n，an≤n.

（Ⅰ）寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)；
（Ⅱ）將數(shù)列{an}中所有值為1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)按從小到大的順序依次排列，得到數(shù)列{nk}，試用nk表示nk+1（不必證明）；
（Ⅲ）求最小的正整數(shù)n，使an=2013．

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