Question

已知函數(shù)滿足ax-f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的實數(shù)x只有一個．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）若數(shù)列a_n滿足，，證明數(shù)列b_n是等比數(shù)列，并求出b_n的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1，n∈N⁺．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）滿足ax-f（x）=2bx+f（x），易得f（x）=；又由f（1）=1，且f（x）=2x只有一解，可得a、b的值；從而得f（x）的表達式．
（Ⅱ）由a_n+1=f（a_n），可得a_n+1=，整理得，數(shù)列{-1}是等比數(shù)列；且通項公式a_n=，從而得b_n的通項公式．
（Ⅲ）由a_n、b_n的通項公式，易得a_nb_n的表達式為：，即得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=++…+，通過放縮即可證得．
解答：解：（Ⅰ）由ax-f（x）=2bx+f（x），（其中x≠，a≠0），得f（x）=；
由f（1）=1，得a=2b+1①；
又f（x）=2x只有一解，即=2x，也就是2ax²-2（1+b）x=0（其中a≠0）只有一解，
∴4（1+b）²-4×2a×0=0，∴b=-1；
代入①，得a=-1；故f（x）=．
（Ⅱ）∵a₁=，a_n+1=f（a_n），∴a_n+1=，即=；∴-1=，
∴數(shù)列{-1}是以-1=為首項，為公比的等比數(shù)列；∴a_n=；
∵b_n=-1=-1=（n∈N^*），∴=（n∈N^*）；
∴{b_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，其通項公式為：b_n=．
（Ⅲ）∵a_nb_n=a_n（-1）=1-a_n=1-=，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=++…+＜++…+==1-＜1（n∈N^*），即證．
點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)、方程，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，解題時應(yīng)認真分析，細心解答，以免出錯．