若B={x|x2-3x+2<0},是否存在實(shí)數(shù)a,使A={x|x2-(a+a2)x+a3<0}且A∩B=A?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
分析:對(duì)于不等式x2-(a+a2)x+a3<0,用因式分解的方法來(lái)解(x-a)(x-a2)<0好.對(duì)于條件A∩B=A,理解為A是B的子集.
解答:解:∵B={x|1<x<2},若存在實(shí)數(shù)a,使A∩B=A,
則A={x|(x-a)(x-a2)<0}.
(1)若a=a2,即a=0或a=1時(shí),
此時(shí)A={x|(x-a)2<0}=∅,滿(mǎn)足A∩B=A,∴a=0或a=1;
(2)若a2>a,即a>1或a<0(舍)時(shí),A={x|a<x<a2},要
使A∩B=A,則
a≥1
a2≤2
?1≤a≤
2
,∴1<a≤
2

(3)若a2<a,即0<a<1時(shí),A={x|a2<x<a},
要使A∩B=A,則
a≤2
a2≥1
?1≤a≤2,∴a∈∅.
綜上所述,當(dāng)1≤a≤
2
或a=0時(shí)滿(mǎn)足A∩B=A,
即存在實(shí)數(shù)a,使A={x|x2-(a+a2)x+a3<0}且A∩B=A成立.
點(diǎn)評(píng):解含有參數(shù)的不等式(x-a)(x-a2)<0是本題的一個(gè)難點(diǎn),應(yīng)采用對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論的方法,本題體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法.
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