Question

17．（1）已知x＞1，求3x+$\frac{4}{x-1}$+1的最小值；
（2）已知0≤x≤2，求函數f（x）=$\sqrt{x（4-2x）}$的最值．

Answer 1

分析 （1）根據基本不等式的性質求出最小值即可；
（2）根據二次函數的性質求出函數的范圍即可．

解答 解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，
∴3x+$\frac{4}{x-1}$+1=3（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+4≥2$\sqrt{3（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+4=4$\sqrt{3}$+4，
當且僅當3（x-1）=$\frac{4}{x-1}$時“=”成立，
故3x+$\frac{4}{x-1}$+1的最小值是：4$\sqrt{3}$+4；
（2）令g（x）=x（4-2x）=-2（x-1）²+2，x∈[0，2]，
對稱軸x=1，g（x）在[0，1）遞增，在（1，2]遞減，
∴g（x）_max=g（1）=2，g（x）_min=g（0）=g（2）=0，
∴0≤f（x）≤$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查二次函數的性質，是一道基礎題．