(06年北京卷文)(14分)

橢圓C:的兩個焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上,且

    (Ⅰ)求橢圓C的方程;

    (Ⅱ)若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心,交橢圓C于兩點(diǎn),且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱,求直線l的方程.

解析:解法一:

(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上,所以,a=3.

在Rt△PF1F2中,故橢圓的半焦距c=,

從而b2=a2-c2=4,

  所以橢圓C的方程為=1.

(Ⅱ)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).

   已知圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(-2,1).

   從而可設(shè)直線l的方程為

   y=k(x+2)+1,

   代入橢圓C的方程得

  (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.

   因?yàn)锳,B關(guān)于點(diǎn)M對稱.

   所以

   解得,

   所以直線l的方程為

   即8x-9y+25=0.

   (經(jīng)檢驗(yàn),所求直線方程符合題意)

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(-2,1).

   設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).由題意x1x2

                                                                    ①

                                                                    ②

由①-②得

                      ③

因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對稱,

所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,

代入③得,

即直線l的斜率為

所以直線l的方程為y-1=(x+2),

即8x-9y+25=0.

(經(jīng)檢驗(yàn),所求直線方程符合題意.)

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