Question

在平面直角坐標系xoy中，以C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3

2

+1=0相切．   （I）求圓C的方程；
（II）是否存在斜率為1的直線l，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在，求出此直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=R²，利用圓心到直線的距離等于半徑求出半徑，即得圓的方程．
（2）設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)此直線方程為y=x+m，由k_OA•k_OB=-1，得 x₁x₂+y₁y₂=0．把直線方程代入圓方程，把根與系數(shù)的關(guān)系代入x₁x₂+y₁y₂=0，求得m值，即得直線的方程．

解答：解：（1）設(shè)圓的方程是（x-1）²+（y+2）²=R²，依題意得，所求圓的半徑R=|

1-2+3 2 +1

2

|=3，
∴所求的圓方程是（x-1）²+（y+2）²=9．
（2）設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)此直線方程為y=x+m，
設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），依題意有OA⊥OB，
即k_OA•k_OB=-1，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
因為

y=x+m (x-1)2+(y+2)2=9

即

y=x+m x2+y2-2x+4y-4=0

，消去y得：2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，
所以，x1+x2=-(m+1)，x1x2=

m2+4m-4

2

．
∵

x1x2+y1y2=0 ， y1=x1+m ，y2=x2+m

，
∴

x1x2+(x1+m)(x2+m)=0， 即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0

，
∴

m2+3m-4=0

，解得m₁=-4，m₂=1，
經(jīng)檢驗m₁=-4，m₂=1都滿足△＞0，都符合題意，∴存在滿足題意的直線l：l₁：y=x-4，l₂：y=x+1．

點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，判斷k_OA•k_OB=-1，是解題
的關(guān)鍵，屬于中檔題．