如圖，橢圓（）的右焦點為，過點的一動直線繞點轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點．

（1）求點P的軌跡H的方程；

（2）若在Q的方程中，令， ．

設(shè)軌跡H的最高點和最低點分別為M和N．當(dāng)為何值時，MNF為一個正三角形？

解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）

上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點坐標(biāo)為P（x，y），則

1°當(dāng)AB不垂直x軸時，x1¹x2，

由（1）－（2）得

b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

  

b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）

2°當(dāng)AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）

故所求點P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0

（2）因為軌跡H的方程可化為：

M（，），N（ ，－），F(xiàn)（c，0），使△MNF為一個正三角形時，則

tan＝＝，即a2＝3b2. 由于，

，則1＋cosq＋sinq＝3 sinq，得q＝arctan

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C： 的離心率，左焦

點為右焦點為，短軸兩個端點為.與軸不垂直的直線與

橢圓C交于不同的兩點、，記直線、的斜率分別為、，且．
（1）求橢圓 的方程；
（2）求證直線 與軸相交于定點，并求出定點坐標(biāo).

（3）當(dāng)弦 的中點落在內(nèi)（包括邊界）時，求直線的斜率的取值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省湛江二中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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