Question

10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p＞0），且ac=$\frac{1}{4}$b²，若∠B為銳角，求p的取值范圍是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$
• B． 1＜p＜$\sqrt{2}$
• C． 1＜p＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 1＜p＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 已知第一個(gè)等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用基本不等式變形，將第二個(gè)等式代入求出p的范圍，再由B為銳角，得出cosB的范圍，利用余弦定理表示出cosB，整理變形后求出p的范圍，綜上，得出滿足題意p的范圍即可．

解答 解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a+c=pb＞2$\sqrt{ac}$，
把a(bǔ)c=$\frac{1}{4}$b²代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，
∵B為銳角，
∴0＜cosB＜1，即0＜$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-2＜1，
∵$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-2=$\frac{（a+c）^{2}}{2ac}$-3=2p²-3，
∴0＜2p²-3＜1，
解得：$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$，
綜上，p的取值范圍為$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．