Question

已知一正六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該正六棱柱的體積為

9

8

，底面周長為3，那么這個球的體積為

4π

3

．

Answer 1

分析：作出經過底面最長對角線的正六棱柱的截面，設上、下底面中心分別為O₁、O₂，則球心O必定在OO₁的中點，根據底面周長為3，結合棱柱體積公式算出它的高為

3

，然后在Rt△AOO₁中利用勾股定理算出AO長，即外接球的半徑R，最后可用球體積公式得到外接球的體積．

解答：解：如圖是經過底面最長對角線的正六棱柱的截面，
設正六棱柱上、下底面中心分別為O₁、O₂，
則球心O必定在OO₁的中點，根據題意得底面正六邊形的邊長為

1

6

×3=

1

2

，
所以底面積S=6×

3

4

×（

1

2

）²=

3 3

8

∵該正六棱柱的體積為V=Sh=

3 3

8

•h=

9

8

，
∴正六棱柱的高h=

9 8

3 3 8

=

3

，得OO₁=

3

2

所以Rt△AOO₁中，AO=

OO12+AO12

=1，即外接球的半徑R=1
∴正六棱柱的外接球的體積V球=

4π

3

×R³=

4π

3

故答案為：

4π

3

點評：本題已知正六棱柱的底面周長和體積，求六棱柱的外接球的體積，著重考查了正棱柱的性質和球內接多面體的知識，考查了球的截面圓性質和球體積公式，屬于基礎題．