已知函數(shù)f(x)=
1
2
4-x2
．
（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的定義域，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)過曲線y=f（x）上的點(diǎn)P的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S，求S的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是[-2，2]．
函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)=
-x
2
4-x2
．
令f'（x）＞0，即
-x
2
4-x2
＞0，解得-2＜x＜0，所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-2，0）；
令f'（x）＜0，即
-x
2
4-x2
＜0，解得0＜x＜2，所以函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ）設(shè)P(x0，  
1
2
4-x02
)，則切線的斜率k=f′(x0)=
-x0
2
4-x02
，
則切線l的方程是y-
1
2
4-x02
=
-x0
2
4-x02
(x-x0)，
設(shè)切線l與x軸、y軸的交點(diǎn)為A、B，
令y=0，由題意可知x0≠0，解得x=
4
x0
，所以A(
4
x0
，0)；
令x=0，解得y=
2
4-x02
，所以B(0，
2
4-
x20
)，
所以S△ABO=
1
2
|x||y|=
1
2
|
4
x0
|
2
4-x02
=
4
x02(4-x02)
≥
4
x02+4-x02
2
=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x02=4-x02，即x0=±
2
時(shí)，△ABO面積的最小值為2．
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(±
2
，  
2
2
)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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