已知函數(shù)在x=1處取到極值2
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=ax-lnx.若對(duì)任意的,總存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(I)由已知中,函數(shù),易求出導(dǎo)函數(shù)的解析式,再由函數(shù)在x=1處取到極值2,其導(dǎo)函數(shù)在x=1處等0,易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的方程,解方程求出m值,即可得到f(x)的解析式;
(Ⅱ)由(I)我們可以求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而可分別出函數(shù)f(X)的單調(diào)性,由此易判斷f(x)在區(qū)間[,2]上的值域,由對(duì)任意的,總存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),及函數(shù)g(x)=ax-lnx.我們分別對(duì)a值與e及e2的關(guān)系進(jìn)行分類討論,即可得到滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)==
f(x)在x=1處取到極值2,故f′(1)=0,f(1)=2即,
解得m=4,n=1,經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)f(x)在x=1處取得極值.故
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故f(x)在上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,由,故f(x)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222526220047520/SYS201311012225262200475020_DA/11.png">
依題意,記,∵x∈M∴
(。┊(dāng)a≤e時(shí),g'(x)≤0,g(x),依題意由
故此時(shí)
(ⅱ)當(dāng)e<a≤e2時(shí),當(dāng)時(shí),g′(x)<0,當(dāng)時(shí),g′(x)>0.依題意由,得,即.與a>e矛盾
(ⅲ)當(dāng)a>e2時(shí),,此時(shí)g′(x)>0,g(x).依題意得此不等式組無(wú)解綜上,所求a取值范圍為0≤a≤e
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,其中根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于m的方程,進(jìn)而求出函數(shù)f(x)的解析式是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)在x=1處取到極值 

(Ⅰ)求a,b滿足的關(guān)系式(用a表示b)

(Ⅱ)解關(guān)于x的不等式

(Ⅲ)問(wèn)當(dāng)時(shí),給定定義域?yàn)镈=[0,1]時(shí),函數(shù)是否滿足對(duì)任意的

都有.如果是,請(qǐng)給出證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(Ⅰ)求a,b滿足的關(guān)系式(用a表示b)

(Ⅱ)解關(guān)于x的不等式

(Ⅲ)問(wèn)當(dāng)時(shí),給定定義域?yàn)镈=[0,1]時(shí),函數(shù)是否滿足對(duì)任意的

都有.如果是,請(qǐng)給出證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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已知函數(shù)在x=1處取到極值2
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=ax-lnx.若對(duì)任意的,總存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)在x=1處取到極值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù).若對(duì)任意的x1∈R,總存在x2∈[1,e],使得,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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