Question

（2011•上海）已知拋物線F：y²=4x
（1）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線F上，記△ABC的三邊AB、BC、CA所在的直線的斜率分別為k_AB，k_BC，k_CA，若A的坐標(biāo)在原點(diǎn)，求k_AB-k_BC+k_CA的值；
（2）請(qǐng)你給出一個(gè)以P（2，1）為頂點(diǎn)、其余各頂點(diǎn)均為拋物線F上的動(dòng)點(diǎn)的多邊形，寫出各多邊形各邊所在的直線斜率之間的關(guān)系式，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），把B、C點(diǎn)左邊代入拋物線方程，利用斜率公式計(jì)算k_AB-k_BC+k_CA的值即可；
（2）先研究△PBC，四邊形PBCD，五邊形PBCDE，再研究n=2k，n=2k-1（k∈N，k≥2）邊形的情形，最后研究n邊形P₁P₂…Pn（k∈N，k≥3），按由特殊到一般的思路逐步得到結(jié)論；

解答：解：（1）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x12=4y1，x22=4y2，
∴k_AB-k_BC+k_CA=

y1

x1

-

y2-y1

x2-x1

+

y2

x2

=

1

4

x1-

1

4

(x1+x2)+

1

4

x2=0；
（2）①研究△PBC，
k_PB-k_BC+k_CP=

yB-yP

xB-xP

-

yC-yB

xC-xB

+

yP-yC

xP-xC

=

xP+xB

4

-

xB+xC

4

+

xC+xP

4

=

xP

2

=1；
②研究四邊形PBCD，
k_PB-k_BC+k_CD-k_DP=

xP+xB

4

-

xB+xC

4

+

xC+xD

4

-

xD+xP

4

=0；
③研究五邊形PBCDE，
k_PB-k_BC+k_CD-k_DE+k_EP=

xP+xB

4

-

xB+xC

4

+

xC+xD

4

-

xD+xE

4

+

xE+xP

4

=

xP

2

=1；
④研究n=2k邊形P₁P₂…P_2k（k∈N，k≥2），其中P₁=P，
有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+(-1)2k-1kP2kP1=0，
證明：左邊=

1

4

(xP1+xP2)-

1

4

(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1

1

4

(xP2k +xP1)=

xP1

4

[1+(-1)2k-1]=

1+(-1)2k-1

2

=0=右邊；
⑤研究n=2k-1邊形P₁P₂…P_2k-1（k∈N，k≥2），其中P₁=P，
有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+（-1）^2k-2kP2k-1P1=1，
證明：左邊=

1

4

(xP1+xP2)-

1

4

(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1-1

1

4

(xP2k-1+xP1)=

xP1

4

[1+(-1)2k-1-1]=

1+(-1)2k-1-1

2

=1=右邊；
⑥研究n邊形P₁P₂…Pn（k∈N，k≥3），其中P₁=P，
有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+（-1）^n-1kPnP1=

1+(-1)n-1

2

，
證明：左邊=

1

4

(xP1+xP2)-

1

4

(xP2+xP3)+…+（-1）^n-1

1

4

(xPn+xP1)=

xP1

4

[1+（-1）^n-1]=

1+(-1)n-1

2

=右邊．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線斜率、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生邏輯推理能力及探究問題解決問題的能力．