如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA⊥底面ABCD.

(1)當(dāng)a為何值時(shí),BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論.

(2)當(dāng)a=4時(shí),求D點(diǎn)到平面PBC的距離.

(3)當(dāng)a=4時(shí),求直線PD與平面PBC所成的角.

剖析:本題主要考查棱錐的性質(zhì),直線、平面所成的角的計(jì)算和點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí).同時(shí)考查空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力.

解:(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AD、AB、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,當(dāng)a=2時(shí),BD⊥AC,又PA⊥BD,故BD⊥平面PAC.故a=2.

    (2)當(dāng)a=4時(shí),D(4,0,0)、C(0,2,0)、C(4,2,0)、P(0,0,2),=(0,2,-2),=(4,0,0).

    設(shè)平面PBC的法向量為n,則n·=0,n·=0,即(x,y,z)·(0,2,-2)=0,(x,y,z)·(4,0,0)=0,得x=0,y=z,取y=1,故n=(0,1,1).則D點(diǎn)到平面PBC的距離d==.

    (3) =(4,0,2),cos〈,n〉==＞0,證〈,n〉=α,設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=sin(-α)=cosα=.

    所以直線PD與平面PBC所成的角為arcsin.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC上一點(diǎn)，且PA∥平面BDM．
（1）求證：M為PC中點(diǎn)；
（2）求平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點(diǎn)M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）點(diǎn)C到平面PAD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．
求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，M為PD上的點(diǎn)，若PD⊥平面MAB
（I）求證：M為PD的中點(diǎn)；
（II）求二面角A-BM-C的大小．

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