精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線M:x2=4py(p>0)的準(zhǔn)線為l,N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,再分別過A,B兩點(diǎn)作l的垂線,垂足分別為C,D.
求證:直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q,并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
分析:設(shè)點(diǎn)N,A,B的坐標(biāo)代入拋物線方程,求得y=
x2
4p
,求導(dǎo)數(shù)后可知切線斜率進(jìn)而可得
y1+p
x1-m
=
x1
2p
,化簡整理得x12-2mx1-4p2=0,同理可得x22-2mx2-4p2=0,進(jìn)而可知x1和x2是關(guān)于x的方程x2-2mx-4p2=0的兩個(gè)根,進(jìn)而可求得這兩個(gè)根,直線AB的方程y-y1=
y2-y1
x2-x1
(x-x1)
中,令x=0得y=y1-
y2-y1
x2-x1
x1=
x2y1-x1y2
x2-x1
整理后可知結(jié)果為定值,進(jìn)而可知直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q(0,p),即拋物線的焦點(diǎn).
解答:證明:因?yàn)閽佄锞的準(zhǔn)線l的方程為y=-p,
所以可設(shè)點(diǎn)N,A,B的坐標(biāo)分別為(m,-p),(x1,y1),(x2,y2),
則x12=4py1,x22=4py2,由x2=4py,得y=
x2
4p
,
求導(dǎo)數(shù)得y′=
x
2p
,于是
y1+p
x1-m
=
x1
2p
,
x
2
1
4p
+p
x1-m
=
x1
2p
,
化簡得x12-2mx1-4p2=0,
同理可得x22-2mx2-4p2=0,
所以x1和x2是關(guān)于x的方程x2-2mx-4p2=0
兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以x1,2=m±
m2+4p2
,且x1x2=-4p2
在直線AB的方程y-y1=
y2-y1
x2-x1
(x-x1)
中,
令x=0,
y=y1-
y2-y1
x2-x1
x1=
x2y1-x1y2
x2-x1
x1x2(x1-x2)
4p(x2-x1)
=-
x1x2
4p
=p
為定值,
所以直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q(0,p),即拋物線的焦點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析問題和運(yùn)算的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線M:x2=4py(p>0)的準(zhǔn)線為l,N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,再分別過A,B兩點(diǎn)作l的垂線,垂足分別為C,D.
(1)求證:直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q,并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)若△ACN,△BDN,△ANB的面積依次構(gòu)成等差數(shù)列,求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分10分)

如圖,已知拋物線M:的準(zhǔn)線為,N為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,再分別過A、B兩點(diǎn)作的垂線,垂足分別為C,D。

求證:直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q,并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);

的面積成等差數(shù)列,求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年浙江省紹興市魯迅中學(xué)高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知拋物線M:x2=4py(p>0)的準(zhǔn)線為l,N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,再分別過A,B兩點(diǎn)作l的垂線,垂足分別為C,D.
(1)求證:直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q,并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)若△ACN,△BDN,△ANB的面積依次構(gòu)成等差數(shù)列,求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省蘇北四市高考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知拋物線M:x2=4py(p>0)的準(zhǔn)線為l,N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,再分別過A,B兩點(diǎn)作l的垂線,垂足分別為C,D.
(1)求證:直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q,并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)若△ACN,△BDN,△ANB的面積依次構(gòu)成等差數(shù)列,求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

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