Question

（1）若動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(2

2

，0)的距離與到定直線l：x=

9 2

4

的距離之比為

2 2

3

，求證：動點(diǎn)P的軌跡是橢圓；
（2）設(shè)（1）中橢圓短軸的上頂點(diǎn)為A，試找出一個(gè)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角△ABC，并使得B、C兩點(diǎn)也在橢圓上，并求出△ABC的面積；
（3）對于橢圓

x2

a2

+y2=1（常數(shù)a＞1），設(shè)橢圓短軸的上頂點(diǎn)為A，試問：以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)也在橢圓上的等腰直角△ABC有幾個(gè)？說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)動點(diǎn)P坐標(biāo)，利用條件，建立等式，化簡可判斷動點(diǎn)P的軌跡；
（2）根據(jù)條件可知，AB，AC應(yīng)是關(guān)于y軸對稱，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，從而可求AC長，故可求面積；
（3）與（2）同法，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求AB，AC的長，利用|AB|=|AC|可判斷．

解答：解：（1）由題意，設(shè)動點(diǎn)P（x，y），則

(x-2 2 )2+y2

|x- 9 2 4 |

=

2 2

3

，化簡得

x2

9

+y2=1，
∴動點(diǎn)P的軌跡是橢圓（4分）
（2）A（0，1），設(shè)AB：y=x+1，AC：y=-x+1，則△ABC是等腰直角三角形
由

y=x+1 x2 9 +y2=1

得，5x²+9x=0∴|AC|=

1+1

|xC-xA|=

9 2

5

∴S△ABC=

1

2

|AC|2=

81

25

---------（10分）
（3）不妨設(shè)l_AB：y=kx+1（k＞0），lAC：y=-

1

k

x+1
由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

得，（1+a²k²）x²+2ka²x=0∴|AB|=

1+k2

|xA-xB|=

1+k2

•

2ka2

1+a2k2

同理可得|AC|=

1+ 1 k2

•

2a2 k

1+ a2 k2

=

1+k2

•

2a2

k2+a2

由|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0∴k=1或k²+（1-a²）k+1=0
所以當(dāng)a＞

3

時(shí)，存在三個(gè)等腰直角三角形；
當(dāng)1＜a≤

3

時(shí)，存在一個(gè)等腰直角三角形．-------------------------------------（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查軌跡與軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．