Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，AB=2，PA=3．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求證：CD⊥AE；
（3）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PB∥平面EAC．
（2）求出$\overrightarrow{CD}=（-2，0，0），\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{3}{2}）$，利用向量法能證明CD⊥AE．
（3）求出平面CAD的法向量和平面EAC的法向量，利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，由已知得AB、AD、AP兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，3），
∵點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為$E（0，1，\frac{3}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AC}=（2，2，0），\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{3}{2}）$．
設(shè)平面EAC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow n=（1，-1，\frac{2}{3}）$，
又$\overrightarrow{BP}=（-2，0，3）$，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow n=-2+0+2=0$，∴$\overrightarrow{BP}⊥\overrightarrow n$，
∵PB?平面EAC，∴PB∥平面EAC．
（2）∵$\overrightarrow{CD}=（-2，0，0），\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{3}{2}）$，
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AE}=-2×0+0×1+0×\frac{3}{2}=0$，
∴CD⊥AE．
解：（3）∵平面CAD的法向量為$\overrightarrow m=（0，0，3）$，
平面EAC的法向量為$\overrightarrow n=（1，-1，\frac{2}{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{3×\sqrt{1+1+\frac{4}{9}}}}=\frac{{\sqrt{22}}}{11}$，
由圖形知二面角C-PD-A的平面是銳角，
∴二面角C-PD-A的余弦值為$\frac{{\sqrt{22}}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．