Question

已知x,y,且x+2y≥1,則二次函數(shù)式u=x²+y²+4x-2y的最小值______.       

Answer 1

因?yàn)閤,y ,且x+2y≥1,所以表示的平面區(qū)域如下圖所示：

函數(shù)式u=x²+y²+4x-2y=(x+2)²+(y-1)²-5，當(dāng)x=-2,y=1時(shí)，即取P（-2，1）時(shí)，u的值為最小，
但是點(diǎn)P（-2，1）不在區(qū)域x+2y≥1內(nèi)，所以函數(shù)u=x²+y²+4x-2y不在點(diǎn)P處取得最小值。但是，當(dāng)整體V=(x+2)²+(y-1)²取得最小值時(shí)，u就取得最小值，即取最小值�？梢岳斫鉃樵趨^(qū)域x+2y≥1上任取一點(diǎn)Q（x,y）到點(diǎn)P（-2，1）的距離的最小值，故作直線PQ垂直于直線：x+2y=1,垂足為Q就是要求的符合條件的點(diǎn)。
又L_PQ：2X-Y+5="0," 由 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（
把Q（代入u=x²+y²+4x-2y=(x+2)²+(y-1)²-5=（
即為所求的最小值