Question

已知三角形的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，設(shè)向量

m

=(2a-c，b)，

n

=(cosC，cosB)，若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面積為

3

，求AC邊的最小值，并指明此時(shí)三角形的形狀．

Answer 1

（1）

m

=(2a-c，b)，

n

=(cosC，cosB)，∵

m

∥

n

，∴（2a-c）cosB=bcosC．
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

．
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

． …（6分）
（2）由已知得：S△ABC=

1

2

acsinB=

3

，B=

π

3

，∴ac=4．
由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)“a=c”時(shí)取等號(hào)．
∴AC的最小值為2，此時(shí)三角形為等邊三角形．…（12分）