如圖已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且經(jīng)過點M（2,1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0）,且交橢圓于A、B兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求m的取值范圍；

（3）求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形。說明理由。

解：（I）設橢圓方程為（a>b>0）

則     ∴橢圓方程

（II） ∵直線∥DM且在y軸上的截距為m，∴y=x+m

由

∵與橢圓交于A、B兩點

∴△=（2m）2-4（2m2-4）>0-2<m<2（m≠0）

（Ⅲ）設直線MA、MB斜率分別為k1,k2，則只要證：k1+k2=0

設A（x1,y1）,B（x2,y2）,則k1=,k2=

由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4

而k1+k2=+= （*）

又y1=x1+m  y2=x2+m

∴（*）分子=（x1+m-1）（x2-2）+（ x2+m -1）（x1-2）

=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）

=2m2-4+（m-2）（-m）-4（m-1）

  =0

∴k1+k2=0,證之.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（12分）如圖已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且經(jīng)過點M（2,1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0）,且交橢圓于A、B兩點.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）求m的取值范圍；

   （3）求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形。說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(08年銀川一中一模理)  （12分）如圖已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且經(jīng)過點M（2,1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0）,且交橢圓于A、B兩點.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）求m的取值范圍；

   （3）求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形。說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆度甘肅省高二月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖,已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線在軸上的截距為，交橢圓于A、B兩個不同點．

（1）求橢圓的方程；   

（2）求m的取值范圍；  

（3）求證直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖,已知橢圓的中心在坐標原點,焦點F1、F2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準線l與x軸的交點為M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線l1:x=m(|m|＞1),P為l1上的動點,使∠F1PF2最大的點P記為Q,求點Q的坐標(用m表示).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且經(jīng)過點M（2,1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0）,且交橢圓于A、B兩點.

　 （1）求橢圓的方程；

　 （2）求m的取值范圍；

　 （3）求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形。


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