(2009•孝感模擬)一個口袋中裝有大小相同的n個紅球(n≥5且n∈N)和5個白球,一次摸獎從中摸兩個球,兩個球的顏色不同則為中獎.
(1)記三次摸獎(每次摸獎后放回)恰有一次中獎的概率為P.試問當(dāng)n等于多少時,P的值最大?
(2)在(1)的條件下,將5個白球全部取出后,對剩下的n個紅球全部作如下標(biāo)記:記上i號的有i個(i=1,2,3,4),其余的紅球記上0號,現(xiàn)從袋中任取一球.ξ表示所取球的標(biāo)號,求ξ的分布列,期望和方差.
分析:(1)計(jì)算出從n+5個球中任取兩個的方法數(shù)和其中兩個球的顏色不同的方法,由古典概型公式,代入數(shù)據(jù)得到一次摸獎中獎的概率,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值及相應(yīng)的p值即可.
(2)所取球的標(biāo)號為ξ,由題意知ξ的取值是0、1、2、3,4.本題是一個獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),根據(jù)上面的p值,代入公式得到結(jié)果,寫出分布列,期望和方差.
解答:解:(1)一次摸獎從n+5個球中任取兩個,有Cn+52種方法.它們是等可能的,其中兩個球的顏色不同的方法有Cn1C51種,
一次摸獎中獎的概率P=
C
1
n
C
1
5
C
2
n+5
=
10n
(n+5)(n+4)
        …(2分)
設(shè)每次摸獎中獎的概率為p(0<p<1),三次摸獎中(每次摸獎后放回)恰有一次中獎的概率,
P=
C
1
3
×p×(1-p) 2
=3p3-6p2+3p
∴P′=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),
由此知P在(0,
1
3
)
上為增函數(shù),P在(
1
3
,1)
上為減函數(shù),…(4分)
∴當(dāng)p=
1
3
時P取得最大值,即p=
10n
(n+5)(n+4)
=
1
3
,
解得n=20或n=1(舍去),則當(dāng)n=20時,三次摸獎(每次摸獎后放回)恰有一次中獎的概率最大.…(6分)
(2)由(1)可知:記上0號的有10個紅球,從中任取一球,有20種取法,它們是等可能的故ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3 4
P
1
2
1
20
2
20
3
20
4
20
…(8分)
Eξ=0×
1
2
+1×
1
20
+2×
2
20
+3×
3
20
+4×
4
20
=
3
2
                                      …(10分)
Dξ=(0-
3
2
2×
1
2
+(1-
3
2
2×
1
20
+(2-
3
2
2×
2
20
+(3-
3
2
2×
3
20
+(4-
3
2
2×
4
20
=
11
4
      …(12分)
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、等可能事件的概率、離散型隨機(jī)變量的期望與方差等基礎(chǔ)知識,求離散型隨機(jī)變量期望的步驟:①確定離散型隨機(jī)變量 的取值.②寫出分布列,并檢查分布列的正確與否,即看一下所有概率的和是否為1.③求出期望.
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