Question

7．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當m≥0時，討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉化為求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零點個數(shù)問題，通過求導，得到函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，求出F（x）的極小值，從而求出函數(shù)h（x）的零點個數(shù)即f（x）和g（x）的交點個數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
當m≤0時，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），無減區(qū)間；
當m＞0時，f′（x）=$\frac{（x+\sqrt{m}）（x-\sqrt{m}）}{x}$；
當0＜x＜$\sqrt{m}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減；
當x＞$\sqrt{m}$時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增．
綜上：當m≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），無減區(qū)間；當m＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（$\sqrt{m}$，+∞），減區(qū)間是（0，$\sqrt{m}$）；
（2）解：令F（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²+（m+1）x-mlnx，x＞0，問題等價于求函數(shù)F（x）的零點個數(shù)，
當m=0時，F(xiàn)（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，x＞0，有唯一零點；當m≠0時，F(xiàn)′（x）=-$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$，
當m=1時，F(xiàn)′（x）≤0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F(xiàn)（4）=-ln4＜0，所以F（x）有唯一零點；
當m＞1時，令F′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令F′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，
∴F（x）在（0，1）遞減，在（1，m）遞增，在（m，+∞）遞減，
∴F（x）_極小值=h（1）=m+$\frac{1}{2}$＞0，
∴F（x）和x軸有1個交點，
綜上，函數(shù)F（x）有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點．

點評 本題考察了導數(shù)的應用，考察函數(shù)的單調(diào)性問題，考察轉化思想，函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．