Question

如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E、D，連接EC、CD．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

分析：（1）要想證AB是⊙O的切線，只要連接OC，求證∠ACO=90°即可；
（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD與BC的比例關系，最后由切割線定理列出方程求出OA的長．

解答：解：（1）如圖，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切線；
（2）∵BC是圓O切線，且BE是圓O割線，
∴BC²=BD•BE，
∵tan∠CED=

1

2

，∴

CD

EC

=

1

2

．
∵△BCD∽△BEC，∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

，
設BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．

點評：本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定和性質，以及切割線定理的綜合運用，屬于基礎題．