Question

已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是9和1
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積為m，求當(dāng)m取最大值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c，利用項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是9和1，求出a，c，可得b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c．

a+c=9 a-c=1

，解得

a=5 c=4

，
∴b=

a2-c2

=3
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

9

=1
（2）|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∴|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=25．
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=5時(shí)，取得最大值，此時(shí)P點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查基本不等式的運(yùn)用，確定橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵．