【題目】(12分)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,n都有:f(mn)=f(m)+f(n)-1,

且當(dāng)x>0時(shí),有f(x)>1.

(1)求f(0).

(2)求證:f(x)在R上為增函數(shù).

(3)若f(1)=2,且關(guān)于x的不等式f(ax-2)+f(xx2)<3對(duì)任意的x∈[1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1) f(0)=1 (2)見(jiàn)解析 (3) (-∞,2-1)

【解析】

(1)利用賦值法,令,可得.(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義并結(jié)合所給的函數(shù)的性質(zhì)可證明結(jié)論成立.(3)根據(jù)題意可將不等式化為,再由函數(shù)f(x)R上為增函數(shù)可得x2-(a+1)x+3>0對(duì)任意的x[1,+∞)恒成立,然后根據(jù)二次函數(shù)在所給區(qū)間上的最值的求法求出函數(shù)的最小值后可得所求.

(1)解令m=n=0,f(0)=2f(0)-1,

f(0)=1.

(2)證明:設(shè)x1,x2R,x1<x2,

f(m+n)=f(m)+f(n)-1,

,

f(x2)>f(x1).

f(x)R上為增函數(shù)

(3)解∵,

,

f(1)=2,

.

f(x)R上為增函數(shù),

對(duì)任意的x[1,+∞)恒成立.

,

①當(dāng)1,a1時(shí),函數(shù)[1,+∞)上單調(diào)遞增,

,得a<3,

a1;

②當(dāng)>1,a>1時(shí),,,

綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線(xiàn)l:y=﹣x+1與橢圓C: =1(a>b>0))相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,

(1)求橢圓C離心率;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且2|OP|=|AB|,求橢圓C的方程.

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【題目】某石化集團(tuán)獲得了某地深海油田區(qū)塊的開(kāi)采權(quán),集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了部分幾口井,取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時(shí)期后,集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)來(lái)布置井位進(jìn)行全面勘探,由于勘探一口井的費(fèi)用很高,如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費(fèi)用,勘探初期數(shù)據(jù)資料見(jiàn)如表:

井號(hào)

1

2

3

4

5

6

坐標(biāo)

鉆探深度(

2

4

5

6

8

10

出油量(

40

70

110

90

160

205

(參考公式和計(jì)算結(jié)果: , , ,

(1)號(hào)舊井位置線(xiàn)性分布,借助前組數(shù)據(jù)求得回歸直線(xiàn)方程為;求,并估計(jì)的預(yù)報(bào)值;

(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井,若通過(guò)1,3,5,7號(hào)并計(jì)算出的, 的值(, 精確到)相比于(1)中的, ,且,則使用位置最接近的已有舊井,否則在新位置打開(kāi),請(qǐng)判斷可否使用舊井?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】定義在R上的函數(shù)f(x),滿(mǎn)足當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的x,y,有

(1)的值;

(2)求證:對(duì)任意x,都有f(x)>0;

(3)解不等式f(32x)>4.

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【題目】已知二次函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,4),對(duì)任意x滿(mǎn)足f(3﹣x)=f(x),且f(1)=2.

(1)若f(x)在(a,2a﹣1)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x,其中t∈R,求h(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值g (t).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)為二次函數(shù),且

(1)求f(x)的表達(dá)式;

(2)判斷函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明.

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【題目】設(shè)關(guān)于某產(chǎn)品的明星代言費(fèi)x(百萬(wàn)元)和其銷(xiāo)售額y(百萬(wàn)元),有如表的統(tǒng)計(jì)表格:

i

1

2

3

4

5

合計(jì)

xi(百萬(wàn)元)

1.26

1.44

1.59

1.71

1.82

7.82

wi(百萬(wàn)元)

2.00

2.99

4.02

5.00

6.03

20.04

yi(百萬(wàn)元)

3.20

4.80

6.50

7.50

8.00

30.00

=1.56, =4.01, =6, xiyi=48.66, wiyi=132.62, (xi2=0.20, (wi2=10.14

其中
(1)在坐標(biāo)系中,作出銷(xiāo)售額y關(guān)于廣告費(fèi)x的回歸方程的散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖指出:y=a+blnx,y=c+dx3哪一個(gè)適合作銷(xiāo)售額y關(guān)于明星代言費(fèi)x的回歸類(lèi)方程(不需要說(shuō)明理由);

(2)已知這種產(chǎn)品的純收益z(百萬(wàn)元)與x,y有如下關(guān)系:x=0.2y﹣0.726x(x∈[1.00,2.00]),試寫(xiě)出z=f(x)的函數(shù)關(guān)系式,試估計(jì)當(dāng)x取何值時(shí),純收益z取最大值?(以上計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)統(tǒng)一保留到小數(shù)點(diǎn)第2位)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),以射線(xiàn)ox為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是 2sin2θ=1.
(1)求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交所得的弦AB的長(zhǎng).

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【題目】已知圓,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

與圓相切,求的方程;

與圓相交于兩點(diǎn),求的面積的最大值,并求此時(shí)直線(xiàn)的方程.(其中點(diǎn)C是圓C的圓心)

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