如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：AE⊥PD；

(Ⅱ)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值．

答案：
解析：

　　標(biāo)準(zhǔn)答案：

　　(Ⅰ)證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image262.gif" width=16 HEIGHT=17>為的中點(diǎn)，所以．

　　又，因此．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image267.gif" width=38 height=17>平面，平面，所以．

　　而平面，平面且，

　　所以平面．又平面，

　　所以．

　　(Ⅱ)解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．

　　由(Ⅰ)知平面，

　　則為與平面所成的角．

　　在中，，

　　所以當(dāng)最短時(shí)，最大，

　　即當(dāng)時(shí)，最大．

　　此時(shí)，

　　因此．又，所以，

　　所以．

　　解法一：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image303.gif" width=38 height=17>平面，平面，

　　所以平面平面．

　　過(guò)作于，則平面，

　　過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角，

　　在中，，，

　　又是的中點(diǎn)，在中，，

　　又，

　　在中，，

　　即所求二面角的余弦值為．

　　解法二：由(Ⅰ)知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以

　　，

　　，

　　所以．

　　設(shè)平面的一法向量為，

　　則　因此

　　取，則，

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image345.gif" width=68 HEIGHT=18>，，，

　　所以平面，

　　故為平面的一法向量．

　　又，

　　所以．

　　因?yàn)槎娼?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0020/e95ae44f3f2331ab348102e60f3fe7b7/C/Image354.gif" width=77 height=18>為銳角，

　　所以所求二面角的余弦值為．

　　試題分析：確定點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，當(dāng)時(shí)，最大．求二面角時(shí)可以利用二面角的概念正確作出平面角進(jìn)行論證求解，也可以利用向量方法將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”．為了便于計(jì)算可設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2．

　　高考考點(diǎn)：垂直關(guān)系的證明與二面角的求解．


提示：

　　底面是菱形提供了垂直關(guān)系的相關(guān)信息，這一點(diǎn)還是比較明顯的，但也有一些幾何體的底面在發(fā)掘有用信息方面就很困難，尤其建立空間坐標(biāo)系時(shí)找不到“落腳”的地方，底面上一些點(diǎn)的坐標(biāo)難以迅速求得．另外從探索解題思路的策略上來(lái)看，垂直往往是關(guān)鍵的“題眼”，需要我們將其放在優(yōu)先考慮的地位

　　1)面對(duì)多個(gè)條件，不妨優(yōu)先選擇使用垂直的條件；

　　2)構(gòu)造輔助線(xiàn)，不妨優(yōu)先作出垂直的輔助線(xiàn)(或面)；

　　3)對(duì)于位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，不妨優(yōu)先使用垂直關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線(xiàn)段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
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2
，求AP的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
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3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點(diǎn)M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案