Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足．
（1）求z=2x+y的最小值和最大值； 
（2）求的取值范圍；
（3）求z=x²+y²的最小值；        
（4）求z=|x+y+1|最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部．再作出直線l：z=2x+y，并將l進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=y=1時(shí)，z達(dá)到最小值3；當(dāng)x=5且y=2時(shí)，z達(dá)到最大值12；
（2）目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)D（-1，-1）連線的斜率，結(jié)合圖形加以觀察，可得z的最小值為，最大值為，由此即可得到的取值范圍；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得z=x²+y²表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)距離的平方．結(jié)合圖形加以觀察，可得z=x²+y²的最小值為|BO|²=2；
（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，設(shè)d==表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）到直線x+y+1=0的距離．觀察圖形可得當(dāng)可行域內(nèi)點(diǎn)與B重合時(shí)，d達(dá)到最小值，由此即可算出z=|x+y+1|最小值為3．
解答：解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足
∴作出可行域，得到△ABC及其內(nèi)部．其中A（1，），B（1，1），C（5，2），如圖所示
（1）作出直線l：z=2x+y，并將l進(jìn)行平移，可得
當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z達(dá)到最小值；當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z達(dá)到最大值；
∴Z_min=2×1+1=3，Z_max=2×5+2=12
即z=2x+y的最小值和最大值分別為3，12．…（3分）
（2）∵=表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)D（-1，-1）連線的斜率
∴由圖可知k_CD≤z≤k_AD
∵=，=
∴的取值范圍是[，]．…（6分）
（3）∵z=x²+y²表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)距離的平方
∴由圖可知當(dāng)點(diǎn)（x，y）與B重合時(shí)，到原點(diǎn)的距離最小，z=x²+y²同時(shí)取到最小值
∵|BO|==
∴z=x²+y²的最小值為|BO|²=2；．…（9分）
（4）∵z=|x+y+1|，
∴d==表示可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）到直線x+y+1=0的距離
因此作出直線x+y+1=0，由圖可知可行域內(nèi)的點(diǎn)B到該直線的距離最小
∴點(diǎn)B到直線x+y+1=0的距離d==，
可得可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x+y+1=0的距離最小值為
因此，z_min=d=3，即z=|x+y+1|最小值為3．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，求幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值和取值范圍．著重考查了平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．