Question

某研究機(jī)構(gòu)為了研究人的腳的大小與身高之間的關(guān)系，隨機(jī)抽測(cè)了20人，得到如下數(shù)據(jù)：

序      號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高x（厘米）	192	164	172	177	176	159	171	166	182	166
腳長(zhǎng)y（ 碼 ）	48	38	40	43	44	37	40	39	46	39
序      號(hào)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
身高x（厘米）	169	178	167	174	168	179	165	170	162	170
腳長(zhǎng)y（ 碼 ）	43	41	40	43	40	44	38	42	39	41

（Ⅰ）若“身高大于175厘米”的為“高個(gè)”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個(gè)”；“腳長(zhǎng)大于42碼”的為“大腳”，“腳長(zhǎng)小于等于42碼”的為“非大腳”．請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的2×2聯(lián)黑框列表：

	高  個(gè)	非高個(gè)	合  計(jì)
大  腳
非大腳		12
合  計(jì)			20

（Ⅱ） 若按下面的方法從這20人中抽取1人來核查測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差：將一個(gè)標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正六面體骰子連續(xù)投擲兩次，記朝上的兩個(gè)數(shù)字的乘積為被抽取人的序號(hào)．試求：
①抽到12號(hào)的概率；②抽到“無效序號(hào)（超過20號(hào)）”的概率．
（Ⅲ） 根據(jù)題（1）中表格的數(shù)據(jù)，若按99.5%的可靠性要求，能否認(rèn)為腳的大小與身高之間有關(guān)系？（可用數(shù)據(jù)48²=2304、58²=3364、68²=4624、6×14×7×13=7644、5×1×2×12=120）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)高個(gè)和大腳的描述，統(tǒng)計(jì)出大腳，高個(gè)，非大腳和非高個(gè)的數(shù)據(jù)，填入列聯(lián)表，再在合計(jì)的部分填表．
（II） 先計(jì)算出投擲兩次出現(xiàn)情況的總數(shù)，再分別計(jì)算出抽到12號(hào)的情況數(shù)及抽到“無效序號(hào)（超過20號(hào)）”的情況數(shù)結(jié)合概率的計(jì)算公式即可求得：①抽到12號(hào)的概率；②抽到“無效序號(hào)（超過20號(hào)）”的概率．
（III）提出假設(shè)，代入公式做出觀測(cè)值，把所得的觀測(cè)值同表格中的臨界值進(jìn)行比較，得到Χ²＞7.879的概率約為0.005，而8.802＞7.879，我們有99.5%的把握認(rèn)為：人的腳的大小與身高之間有關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）表格為：

	高  個(gè)	非高個(gè)	合  計(jì)
大  腳	5	2	7
非大腳	1		13
合  計(jì)	6	14

（Ⅱ） ①抽到12號(hào)的概率為P1=

4

36

=

1

9

…（6分）
②抽到“無效序號(hào)（超過20號(hào)）”的概率為P2=

6

36

=

1

6

…（9分）
（Ⅲ） 提出假設(shè)H₀：人的腳的大小與身高之間沒有關(guān)系．…（10分）
根據(jù)上述列聯(lián)表可以求得K2=

20×(5×12-1×2)2

6×14×7×13

≈8.802．…（12分）
當(dāng)H₀成立時(shí)，K²＞7.879的概率約為0.005，而這里8.802＞7.879，
所以我們有99.5%的把握認(rèn)為：人的腳的大小與身高之間有關(guān)系．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，包括數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題在個(gè)別省份作為高考題目出現(xiàn)過，要引起同學(xué)們注意．