已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,且該橢圓上一點A與左、右焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形周長為2
2
+2.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)記橢圓C的上頂點為B,直線l交橢圓C于P,Q兩點,問:是否存在直線l,使橢圓C的右焦點F2恰為△PQB的垂心(△PQB三條邊上的高線的交點)?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)若⊙M是以AF2為直徑的圓,求證:⊙M與以坐標(biāo)原點為圓心,a為半徑的圓相內(nèi)切.
考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(I)由橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,可得
c
a
=
2
2
.該橢圓上一點A與左、右焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形周長為2
2
+2,可得|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2a+2c=2
2
+2.及b=
a2-c2
聯(lián)立解得即可.
(II)假設(shè)存在直線l,使橢圓C的右焦點F2恰為△PQB的垂心.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).則BF2⊥PQ.
kBF2=-1,可得kPQ=1.設(shè)直線l的方程為:y=x+m,與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,再利用
BP
QF2
,可得
BP
QF2
=x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,解得m即可.
(III)證明設(shè)A(x0,y0),F(xiàn)2(1,0),則M(
x0+1
2
,
y0
2
)
,設(shè)兩圓的半徑分別為r1,r2.|OM|=
(
x0+1
2
)2+(
y0
2
)2
=
2
2
+
2
4
x0
.又⊙M的半徑r1=|MF2|=
2
2
-
2
4
x0
.r2=a=
2
.只要證明|OM|=r2-r1.即可.
解答: 解:(I)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,
c
a
=
2
2

該橢圓上一點A與左、右焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形周長為2
2
+2,
∴|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2a+2c=2
2
+2.
解得a=
2
,c=1,∴b=
a2-c2
=1.
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2
=1.
(II)假設(shè)存在直線l,使橢圓C的右焦點F2恰為△PQB的垂心.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).則BF2⊥PQ.
∵B(0,1),F(xiàn)2(1,0),∴kBF2=-1,∴kPQ=1.
設(shè)直線l的方程為:y=x+m,聯(lián)立
y=x+m
x2+2y2=2
,
化為3x2+4mx+2m2-2=0,則x1+x2=-
4m
3
,x1x2=
2m2-2
3
.(*).
BP
QF2
,
∴x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,
∴x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,化為2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,
4m2-4
3
-
4m(m-1)
3
+m2-m=0,化為3m2+m-4=0,解得m=-
4
3
,m=1.
經(jīng)檢驗m=-
4
3
符合條件,直線l的方程為y=x-
4
3

(III)證明:設(shè)A(x0,y0),F(xiàn)2(1,0),則M(
x0+1
2
y0
2
)
,
設(shè)兩圓的半徑分別為r1,r2
|OM|=
(
x0+1
2
)2+(
y0
2
)2
=
(x0+1)2
4
+
1
4
(1-
x2
2
)2
=
2
2
+
2
4
x0

又⊙M的半徑r1=|MF2|=
2
2
-
2
4
x0
.r2=a=
2

∴r2-r1=
2
-(
2
2
-
2
4
x0)
=
2
2
+
2
4
x0

∴|OM|=r2-r1
∴⊙M與以坐標(biāo)原點為圓心,a為半徑的圓相內(nèi)切.
點評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式、兩圓相內(nèi)切的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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A、
1
3
B、
2
4
C、2
2
D、
2
2
3

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A、
1
3
B、
2
3
C、
4
3
D、
8
3

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