Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且該橢圓上一點A與左、右焦點F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形周長為2

2

+2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）記橢圓C的上頂點為B，直線l交橢圓C于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使橢圓C的右焦點F₂恰為△PQB的垂心（△PQB三條邊上的高線的交點）？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若⊙M是以AF₂為直徑的圓，求證：⊙M與以坐標(biāo)原點為圓心，a為半徑的圓相內(nèi)切．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，可得

c

a

=

2

2

．該橢圓上一點A與左、右焦點F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形周長為2

2

+2，可得|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=2

2

+2．及b=

a2-c2

聯(lián)立解得即可．
（II）假設(shè)存在直線l，使橢圓C的右焦點F₂恰為△PQB的垂心．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則BF₂⊥PQ．
由kBF2=-1，可得k_PQ=1．設(shè)直線l的方程為：y=x+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用

BP

⊥

QF2

，可得

BP

•

QF2

=x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，解得m即可．
（III）證明設(shè)A（x₀，y₀），F(xiàn)₂（1，0），則M(

x0+1

2

，

y0

2

)，設(shè)兩圓的半徑分別為r₁，r₂．|OM|=

( x0+1 2 )2+( y0 2 )2

=

2

2

+

2

4

x0．又⊙M的半徑r₁=|MF₂|=

2

2

-

2

4

x0．r₂=a=

2

．只要證明|OM|=r₂-r₁．即可．

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，
該橢圓上一點A與左、右焦點F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形周長為2

2

+2，
∴|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=2

2

+2．
解得a=

2

，c=1，∴b=

a2-c2

=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）假設(shè)存在直線l，使橢圓C的右焦點F₂恰為△PQB的垂心．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則BF₂⊥PQ．
∵B（0，1），F(xiàn)₂（1，0），∴kBF2=-1，∴k_PQ=1．
設(shè)直線l的方程為：y=x+m，聯(lián)立

y=x+m x2+2y2=2

，
化為3x²+4mx+2m²-2=0，則x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

．（*）．
∵

BP

⊥

QF2

，
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
∴x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，化為2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0，
∴

4m2-4

3

-

4m(m-1)

3

+m²-m=0，化為3m²+m-4=0，解得m=-

4

3

，m=1．
經(jīng)檢驗m=-

4

3

符合條件，直線l的方程為y=x-

4

3

．
（III）證明：設(shè)A（x₀，y₀），F(xiàn)₂（1，0），則M(

x0+1

2

，

y0

2

)，
設(shè)兩圓的半徑分別為r₁，r₂．
|OM|=

( x0+1 2 )2+( y0 2 )2

=

(x0+1)2 4 + 1 4 (1- x2 2 )2

=

2

2

+

2

4

x0．
又⊙M的半徑r₁=|MF₂|=

2

2

-

2

4

x0．r₂=a=

2

．
∴r₂-r₁=

2

-(

2

2

-

2

4

x0)=

2

2

+

2

4

x0．
∴|OM|=r₂-r₁．
∴⊙M與以坐標(biāo)原點為圓心，a為半徑的圓相內(nèi)切．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式、兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．